Też miałem napisać o klejeniu, ale nie napisałem: na przykład dla mnie to jest wykluczone - mam jedną wiertarkę pionową, a czasem muszę założyć wiertło ze stożkiem.

Spawanie uchwytu? Oj, lepiej przemilczę...
A ten otwór we wrzecionie i w nim wałek to jest cenna rzecz, czyli chyba* tzw. ściągacz - pozwala na pewne posadowienie uchwytu i jest stosowany we wszystkich frezarkach godnych tej nazwy.
Powód jest prosty: w wiertarce zasadniczo na uchwycie występuje (a raczej powinna) tylko siła osiowa, wciskająca stożek w gniazdo, natomiast przy frezowaniu większość sił to siły promieniowe.
Jeśli dobrze dedukuję, możesz właśnie ten wałek (ściągacz) wykorzystać do zamocowania wypadającego uchwytu - ale potrzebujesz stożka z nagwintowanym otworem (a nie typowego dla wiertarki, czyli z płetwą) pasującym rozmiarem do gwintu na pręcie ściagacza.
Może trzeba elementy lekko przerobić czy uzdatnić, ale to jest idealny sposób na wypadający uchwyt.

Najprostsze działanie to wykonanie w płetwie stożka otworu gwintowanego i dostosowanie do niego gwintu na pręcie.

* Ale to może być rzeczywiście wałek wielowypustowy, przenoszący napęd - tak jak piszesz. Niestety, nie widać tego na zdjęciu.

Obejrzyj stożek zewnętrzny - powinieneś znajdziesz jakieś skaleczenia, stuknięcia, wypływki od uderzeń, rdzę.
One podpierają punktowo i obie części nie przylegają całą powierzchnią - trzeba to zlikwidować, ale delikatnie: pilnikiem zwykłym, może diamentowym, może papierem ściernym na twardej podkładce.
Obmacaj stożek wewnętrzny - także może mieć występy, może "kępki" rdzy - to trzeba także zlikwidować.
Można lekko ręcznie przeczyścić rozwiertakiem-wykończakiem Morse (lekko, bo najprawdopodobniej stożek jest hartowany powierzchniowo lub w objętości), można też przeczyścić papierem ściernym na obrotach (tylko palca sobie nie ukręć, lepiej papier umieścić na jakimś wałeczku drewnianym, a idealnie na stożku drewnianym o zbieżności ok. 3°).
Jeżeli stożek zewnętrzny jest skrzywiony - to tylko wymiana; są takie dostępne w handlu: z jednej strony stożek Morse'a odpowiedni do Twojego wrzeciona, z drugiej stożek skrócony typu B (odpowiedni do uchwytu).
Istnieją różne kombinacje.
PS: Żeby stabilnie obsadzić stożek w otworze wrzeciona, skręć szczęki tak by nie wystawały z uchwytu, podłóż na podstawę maszyny jakiś prostopadły klocek metalowy i mocno kilka razy dociśnij wajchą uchwyt do tego klocka (może byś lekkie stuknięcie).
Takie działanie z reguły dobrze zaciska stożek w gnieździe.