Zadanie 15. Belka aluminiowa o długości 2 m o przekroju
a) koła o średnicy d
b) kwadratu o boku a
jest jednym końcem utwierdzona, a drugim obciążona siłą P = 4000 N. Obliczyć
a) średnicę d
b) długość boku a
jeżeli naprężenie dopuszczalne na zginanie kg = 160 MPa, przy czym jest wymagane, aby strzałka ugięcia nie przekraczała 1/200 długości belki.

Zadanie jest bardzo proste.
W zadaniu mamy do czynienia z belką jednostronnie utwierdzoną i obciążoną siła skupinoną P na drugim końcu, zatem mamy do czynienia ze zginaniem.
W zginaniu najważniejszymi wartościami jest moment zginający i wskaźnik wytrzymałości przekroju na zginanie.
Mamy dane:
P = 4000 N
L = 2 m
kg = 160 MPa = 160000000 N/m2
fdop = L/200

Moment zginający w naszym przypadku wyniesie M= P*L = 4000*2 = 8000 Nm
Wskaźnik wytrzymałości przekroju kołowego W = 3,14*D^3 / 32
Wskaźnik wytrzymałości przekroju kwadratowego W = a^3 /6

Warunek wytrzymałości na zginanie kg > M/W
Minimalna średnica pręta (przekrój kołowy)

kg = M/W z tego wynika W = M / kg = 3,14*d^3 = 32*M / kg
z tego wynika D = pierwiastek 3 stopnia z (( 32*M)/ (3,14 * kg))
d = 0,0799 m = 7,99 cm ~8 cm

Minimalna szerokość pręta (przekrój kwadratowy)

kg = M/W z tego wynika W = M / kg = a^3 = 6*M / kg
z tego wynika a = pierwiastek 3 stopnia z (( 6*M)/ ( kg))
a = 0,0669 m = 6,69 cm ~7 cm


Warunek 2

fdop > f = PL^3 / 3*E*I

gdzie E = moduł Younga dla aluminium E=70 GPa
I - moment bezwładności przekroju

L/200 = PL^3 / 3EI z tego otrzymujemy

200 PL^2 = 3EI

I = 3,14*d^4 /64 dla koła
I = a^4 /6 dla kwadratu

Po przekształceniu otrzymujemu

d = pierwiastek 4 stopnia z ( PL^2 * 64 * 200) / 3* E * 3,14)
d = 0,133 m = 13, 3 cm

a = pierwiastek 4 stopnia z ( PL^2 * 12 * 200) / 3* E )
a = 0,116 m = 11,6 cm


aby były spełnione oba warunki należy przyjąć

d = 13,3 cm ~ 13,5 cm
a = 11,6 cm ~ 12,0 cm

[ Dodano: 2013-05-26, 16:34 ]
I = a^4 /6 dla kwadratu

oczywiście ma być I = a^4 /12 dla kwadratu