ad. 4
R13... (np.10k) być muszą, jest to 6N137 i pokazana struktura może wprowadzać w błąd - jest to OC

C4... (100nF) zostaw ale łączysz je między nóżką 8 i 5
Nóżka nr 3 to zupełnie inna masa (pełna optoizolacja)

Co do przekaźnika to najpierw podłącz do Vdd i zmierz jaki prąd pobiera,
upraszczając - jeśli przykładowo będzie to 100mA a tranzystor będzie miał wzmocnienie 100
to do bazy musisz dostarczyć 1mA
Ze schematu (R10) wynika, że dajesz tylko 0,5mA (5V / 10k)

Nieszczęsna nóżka nr 7, trudno wyczuć jak najlepiej,
w nocie aplikacyjnej pozostawiają nie podłączoną,
trochę to bez sensu, chyba, że pokazana struktura jako bramka AND jest fałszywa,
rezystory nie przeszkadzają ale można też podłączyć bezpośrednio do Vdd

Zwykła bramka AND.
H (jedyna logiczna) na V7 przepuszcza sygnał na wyjście,
L (zero logiczne) spowoduje zablokowanie wyjścia.
Jeśli nie chcesz blokować wyjścia tym sygnałem
to połącz V7 z Vcc przez rezystor 10k-100k
Jeśli pozostawisz "luzem" to może się zdarzyć tak,
że podczas pracy jakimś cudem pojawi się tam zero i zablokuje Ci wyjście.

P.S. Gdyby V7 odwracała sygnał to by się nazywała np. INVERT, NEGATIVE itp.
niestety nazywa się ENABLE i niczego nie odwróci.