Ten twój czujnik to chińszczyzna, Google dużo mówią gdzie to można kupić, ale nie widzę nigdzie żadnych parametrów.
Ogólnie to taki czujnik pobiera mały prąd gdy nie jest zbliżony metal, i duży prąd gdy metal zbliżysz.
Od tego małego prądu przekaźnik nie może zadziałać, ten duży prąd ma jakąś wartość maksymalną powyżej której pójdzie dym.
I tak jak wcześniej pisałem, kilka woltów musi się odłożyć na czujniku, bo przecież czymś musi być zasilany.
Można wróżyć, że jeśli świeci się LED, to z 5 mA pobiera w stanie wyłączenia.
Można też z dużym prawdopodobieństwem założyć, że 100 mA go nie spali a mniej niż 3 V nie wystarczy do działania.
Wtedy przy zasilaniu 12 V na przekaźnik zostanie 12-3=9 V i na takie napięcie trzeba dać przekaźnik.
Oporność przekaźnika nie może być większa niż 9/0,005=1800 Ω, bo by zawsze był włączony i nie może być mniejsza niż 9/0,100=90 Ω.
Przeciętny miniaturowy przekaźnik na 9 V będzie miał z 500 Ω, czyli akurat.
I pamiętaj żeby nie podłączyć 12 V bezpośrednio do czujnika, bo może zostać po nim wspomnienie.
Zapewne powinieneś podłączyć jeden koniec cewki przekaźnika do +12 V, drugi koniec cewki przekaźnika do brązowego przewodu czujnika i niebieski przewód czujnika do - 12 V.
Chyba że Chińczyk był daltonistą ...
Zwykle takie przekaźniki są zabezpieczone przed odwrotnym podłączeniem i zwykle wtedy przekaźnik jest stale włączony a LED nie świeci.
Wiem, że Ty już wiesz gdzie jest + a gdzie - , ale ktoś inny też to może czytać.
Zasadniczo przekaźnik można włączyć i po stronie - 12 V, tak samo jak i można użyć innego napięcia niż 12 V.

.

Ty się chyba uparłeś coś spalić.
Jeśli czujnik jest dwuprzewodowy, to się go włącza szeregowo z odpowiednio dobranym przekaźnikiem i dopiero ze styków przekaźnika bierze sygnał.
Jak "na czujniku jest napisane że działa w zakresie 10-30 V" to tak jest, chyba nie myślisz że producent jaja sobie robi z klientów, jakby działało na 5 V to by o tym poinformował.
Dioda zapala się i gaśnie, bo wewnętrzny układ pomiarowy potrzebuje napięcia raptem 2-3 V, ale z tego co się dzieje w środku nie skorzystasz dopóki napięcie na zewnątrz nie będzie wystarczająco duże.
Po prostu dioda będzie mrugać, ale prąd płynący przez czujnik będzie prawie taki sam, dopiero przy 10 V zasilania będzie wystarczająca różnica żeby wysterować przekaźnik.
Widzę że znasz się na elektronice jak świnia na gwiazdach, więc najlepiej załóż krańcówkę mechaniczną, na limit nadaje się aż za dobrze.

.