Nie mogę, tylko muszę. Projektując koło pod pas zębaty wychodzisz od ilości zębów i podziałki (całkowitej!), więc i długość pasa na kole w przeliczeniu na obrót będzie całkowita. Średnica podziałowa jest wynikowa i nie ma żadnego znaczenia.
Czy licząc koło zębate modułowe używasz pi? Nie!

Miło że przywołujesz rozrząd samochodu - pasek zębaty czy łańcuch pracują synchronicznie.
Problemy wynikają tam z tego, że rozciągnięty napęd rozrządu wprowadza opóźnienie kątowe wałka rozrządu względem wału korbowego.
Odpowiada za to odcinek paska czy łańcucha POMIĘDZY kołami, bo na samych kołach ząbki czy rolki wskakują w odpowiednie zagłębienia.
Oczywiście pojawia się problem w postaci szybko narastającego zużycia paska ze względu na duże jednostkowe obciążenie zęba, aż do zużycia tak dużego że praca synchroniczna zostaje zaburzona - łańcuch czy pasek przeskakuje ponad zębami.

Rozciągnięty pasek czy łańcuch to zmieniona podziałka, wciąż jednak praca pozostaje synchroniczna. Wciąż w rowerze na jeden obrót korby przewijasz dokładnie taką samą ilość ogniw. Wciąż koło obraca się szybciej o wartość zgodną z przełożeniem przekładni, ani trochę wolniej czy szybciej. Ot, ryzykujesz co najwyżej że obijesz jajca o ramę, jak Ci łańcuch w końcu przeskoczy.

Trochę przypomina mi Twoje tłumaczenie tok myślenia tych panów:
https://youtu.be/ur9kXqE4lMg

Wybacz Impuls, ale tuxcnc ma rację. Koło pod pasy synchroniczne traktujesz jako wielokąt, a nie okrąg. Pi i średnica podziałowa nie ma nic do rzeczy.
W przypadku kół zębatych też po to wymyślono moduł, żeby uniknąć stosowania Pi w obliczeniach odległości osi. W przypadku kiedy zależy nam na precyzyjnym przesuwie po listwie zębatej stosuje się uzębienia helikalne, również po to żeby z obliczeń wywalić Pi. Przy okazji dostaje się oczywiście lepsze zazębienie, cichszą pracę itd.